1、1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

【资料图】

2、 (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。

3、其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。

4、应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

5、 (2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。

6、其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。

7、应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

8、 2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。

9、其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

10、 3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

11、用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。

12、这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

13、 4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。

14、凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。

15、 5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。

16、主要有两种换元形式。

17、(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。

18、此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。

19、(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。

20、如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。

21、 6.放缩法放缩法是要证明不等式A

22、放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。

23、常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。

24、 比较法（作差法） 在比较两个实数 和 的大小时，可借助 的符号来判断。

25、步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。

26、变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。

27、 例已知： ， ，求证： 。

28、 证明： ，故得 。

29、 2、分析法（逆推法） 从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。

30、 例2、求证： 。

31、 证明：要证 ，即证 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。

32、 3、综合法 证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。

33、 例3、已知： ， 同号，求证： 。

34、 证明：因为 ， 同号，所以 ， ，则 ，即 。

35、 4、作商法（作比法） 在证题时，一般在 ， 均为正数时，借助 或 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。

36、 例4、设 ，求证： 。

37、 证明：因为 ，所以 ， 。

38、而 ，故 。

39、 5、反证法 先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。

40、 例5、已知 ， 是大于1的整数，求证： 。

41、 证明：假设 ，则 ，即 ，故 ，这与已知矛盾，所以 。

42、 6、迭合法（降元法） 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。

43、 例6、已知： ， ，求证： 。

44、 证明：因为 ， ， 所以 ， 。

45、 由柯西不等式 ，所以原不等式获证。

46、 7、放缩法（增减法、加强不等式法） 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。

47、值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。

48、常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。

49、 例7、求证： 。

50、 证明：令 ，则 ， 所以 。

51、 8、数学归纳法 对于含有 的不等式，当 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在 时成立的假设下，还能证明不等式在 时也成立，那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。

52、 例8、已知： ， ， ，求证： 。

53、 证明：（1）当 时， ，不等式成立； （2）若 时， 成立，则 = ， 即 成立。

54、 根据（1）、（2）， 对于大于1的自然数 都成立。

55、 9、换元法 在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。

56、 例9、已知： ，求证： 。

57、 证明：设 ， ，则 ， （因为 ， ）， 所以 。

本文分享完毕，希望对大家有所帮助。